keras解决多标签分类问题

multi-class classification problem： 多分类问题是相对于二分类问题（典型的0-1分类）来说的，意思是类别总数超过两个的分类问题，比如手写数字识别mnist的label总数有10个，每一个样本的标签在这10个中取一个。

multi-label classification problem：多标签分类（或者叫多标记分类），是指一个样本的标签数量不止一个，即一个样本对应多个标签。

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##一般问题定义

一般情况下，假设我们的分类问题有5个标签，样本数量为n，数学表示为：
$X = {(x_1,x_2,...,x_n)} $
$Y = {(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)}$

其中$ y_i \in {(1,2,3,4,5)}$
我们用神经网络模型对样本建模，计算$P(c_j|x_i)$ ：样本$x_i$ 的标签为$c_j$的概率。模型的输出为：
$$
\hat y_i = {\arg\max}_{j \in {1,2,3,4,5}} P(c_j|x_i)
$$
现在我们用keras的Sequential 模型建立一个简单的模型：

```python
from keras.layers import Input,Dense
from keras.models import Sequential

model = Sequential()
model.add(Dense(10, activation="relu", input_shape=(10,)))
model.add(Dense(5))
```

## multi-class classification

对于多分类问题，接下来要做的是输出层的设计。在多分类中，最常用的就是softmax层。

softmax层中的softmax 函数是logistic函数在多分类问题上的推广，它将一个N维的实数向量压缩成一个满足特定条件的N维实数向。压缩后的向量满足两个条件：

- 像两种的每个元素的大小都在[0,1]
- 所有向量元素的和为1

因此，softmax适用于多分类问题中对每一个类别的概率判断，softmax计算公式：
$$
Softmax(x_i) = \frac {e^{x_i}}{\sum^n_ie^{x_i}}
$$
python 代码示例：

```python
import numpy as np

def Softmax_sim(x):
    y = np.exp(x)
    return y/np.sum(y)

x = np.array([1.0,2.0,3.0,4.0,1.0])
print(Softmax_sim(x))
#输出：[ 0.03106277  0.08443737  0.22952458  0.6239125   0.03106277]
```

假设隐藏层的输出为[1.0,2.0,3.0,4.0,1.0]，我们可以根据softmax函数判断属于标签4

所以，利用keras的函数式定义多分类的模型：

```python
from keras.layers import Input,Dense
from keras.models import Model

inputs = Input(shape=(10,))
hidden = Dense(units=10,activation='relu')(inputs)
output = Dense(units=5,activation='softmax')(hidden)
```

## mulit-label classification

在预测多标签分类问题时，假设隐藏层的输出是[-1.0, 5.0, -0.5, 5.0, -0.5 ]，如果用softmax函数的话，那么输出为：

```python
z = np.array([-1.0, 5.0, -0.5, 5.0, -0.5 ])
print(Softmax_sim(z))
# 输出为[ 0.00123281  0.49735104  0.00203256  0.49735104  0.00203256]
```

通过使用softmax，我们可以清楚地选择标签2和标签4。但我们必须知道每个样本需要多少个标签，或者为概率选择一个阈值。这显然不是我们想要的，因为样本属于每个标签的概率应该是独立的。

对于一个二分类问题，常用的激活函数是sigmoid函数：
$$
\sigma (x) = \frac {1}{1 + e^{-x}}
$$
ps: sigmoid函数之所以在之前很长一段时间作为神经网络激活函数（现在大家基本都用Relu了），一个很重要的原因是sigmoid函数的导数很容易计算，可以用自身表示：
$$
\sigma '(x) = \sigma(x)(1-\sigma(x))
$$
python 代码为：

```python
import numpy as np

def Sigmoid_sim(x):
    return  1 /(1+np.exp(-x))

a = np.array([-1.0, 5.0, -0.5, 5.0, -0.5])
print(Sigmoid_sim(a))
#输出为： [ 0.26894142  0.99330715  0.37754067  0.99330715  0.37754067]
```

此时，每个标签的概率即是独立的。完整整个模型构建之后，最后一步中最重要的是为模型的编译选择损失函数。在多标签分类中，大多使用binary_crossentropy损失而不是通常在多类分类中使用的categorical_crossentropy损失函数。这可能看起来不合理，但因为每个输出节点都是独立的，选择二元损失，并将网络输出建模为每个标签独立的bernoulli分布。整个多标签分类的模型为：

```python
from keras.models import Model
from keras.layers import Input,Dense

inputs = Input(shape=(10,))
hidden = Dense(units=10,activation='relu')(inputs)
output = Dense(units=5,activation='sigmoid')(hidden)
model.compile(optimizer='adam', loss='binary_crossentropy', metrics=['accuracy'])
```

## 参考

[Guide To Multi-Class Multi-Label Classification With Neural Networks In Python](https://www.depends-on-the-definition.com/guide-to-multi-label-classification-with-neural-networks/)

[keras实践(一): multi-label神经网络](http://blog.csdn.net/leon_wzm/article/details/77650374)

[Softmax回归](http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92)

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