AdaBoost算法详解以及代码实现

AdaBoost，全称是“Adaptive Boosting”，由Freund和Schapire在1995年首次提出，并在1996发布了一篇新的论文证明其在实际数据集中的效果。这篇博客主要解释AdaBoost的算法详情以及实现。它可以理解为是首个“boosting”方式的集成算法。是一个关注二分类的集成算法。

[TOC]

#### 一、算法的总体情况
AdaBoost的目标是建立如下的最终的分类器：

```math
F(x) = sign(\sum_{m=1}^M\theta_mf_m(x))
```
其中，假设我们输入的训练数据总共有$n$个，用$(x\_1,y\_y),\cdots,(x\_n,y\_n)$表示，其中$x$是一个多为向量，而其对应的$y=\\{-1,1\\}$。

##### 1.1、sign函数
这里的$sign$函数是符号函数。判断实数的正负号。即如果输入是正数，那么输出为1；输入为负数，那么输出为-1；如果输入是0的话，那么输出为0。因此，AdaBoost的目标是判断$\\{-1,1\\}$的二分类判别算法。其函数图像如下所示：

<center>![](http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/Sign_701.gif)</center>
<center></center>

##### 1.2、弱分类器f(x)

模型中的$f\_m(x)$是弱分类器。这里假设一个AdaBoost是由$M$个弱分类器家全球和得到。每一个弱分类器$f\_m(x)$都给出一个预测结果，然后根据其对应的权重$\theta\_m$加权求和。因此，我们可以看到，AdaBoost的目标其实就是求出每个弱分类器的模型参数，以及其对应的权重。

#### 二、AdaBoost的求解
前面可以看到AdaBoost的模型本身非常简单。那么，如何求解这个模型中弱分类器的权重及其参数呢？其步骤如下：

首先，根据前面所述，有$n$个数据，我们初始化每个**数据**的权重都是一样的：

```math
w(x_i,y_i) = \frac{1}{n}
```

接下来，我们对每一个弱分类器$(1,\cdots,M)$都进行如下操作：

1) 训练一个弱分类器，使得其分类误差最小，此时计算该分类器的误差计算如下公式：

```math
\epsilon_m = \sum_{y_i\neq f_m(x)}\cdot w_m
```

这个公式的含义就是模型的误差等于每一个错分的样本权重之和。

当该模型是第一个弱分类器（即第一次迭代的时候），该公式中的含义就是计算当前弱分类器分错的样本个数，除以总的样本数量，得到该弱分类器的误差（因为，此时每个样本的误差都是1/n）。同时注意，在后面的迭代中，每个错分的样本的权重是不同的，这里的$m$表示第$m$次迭代时候，该样本的权重。

2）根据当前弱分类器的误差，计算该**分类器**的权重：

```math
\theta_m = \frac{1}{2} \ln(\frac{1-\epsilon_m}{\epsilon_m})
```

该公式的含义就是，当该弱分类器的准确率（1-前面的误差）大于0.5，那么这个权重就是正值（因为此时$\epsilon\_m< 0.5$，那么对数内部就是大于1，那么结果就是正数了）。否则该权重为负值。也就是说，只要这个分类器的准确率结果不是0.5（这个时候就相当于随机猜测了），它总会给最终的分类器提供一些信息。

3）最后，我们根据模型权重更新数据的权重：

```math
w_{m+1}=\frac{w_m(x_i,y_i)\exp[-\theta_my_if_m(x_i)]}{Z_m}
```
这里的$Z\_m$是正规化系数，确保所有的数据权重总和为1。

解释一下这个公式的含义，指数内部$-\theta\_my\_if\_m(x_i)$这个乘积的含义是如果弱分类器$m$的分类结果和真实的结果一致，那么结果是$-\theta\_m$，是一个负值，那么$\exp[-\theta\_my\_if\_m(x\_i)]$结果小于1。也就是说该数据集的样本权重降低。否则该数据样本的权重增高。因此，通过这种计算就可以让那些容易分错的样本的权重升高，容易分对的样本权重降低。继续迭代就会导致对难分的样本能分对的模型的权重上涨。最终，达到一个强分类器的目的。

#### 三、AdaBoost的Python实现
根据上述原理，AdaBoost的实现就很容易了。这里的主要目标是训练好每个弱分类器的同时，计算好分类器的权重。

```python
# 载入数据
# 训练数据的特征和标签
x_train, y_train = ...
# 预测数据的特征
y_train = ...

# 定义分类器数量
M = 100
models = getModel(100)

# 计算数据数量
n_train = x_train.shape[0]

# 初始化数据权重
w = np.ones(n_train) / n_train

# 初始化模型权重
theta = np.zeros(n_train)

# 循环迭代
for m in range(M):

# 训练一个弱分类器
	models[m].fit(x_train,y_train)
	
	# 计算弱分类器误差
	pred_train = models[m].predict(x_train)
	miss = [int(x) for x in (pred_train != y_train)]
	error = np.dot(w, miss)
	
	# 计算弱分类器的权重
	theta[m] = 0.5 * np.log((1-error)/error)
	
	# 更新数据权重
	for i in n_train:
		w[i] = w[i]*np.exp(-theta[m]*y_train[i]*pred_train[i])
	
	# 正规化权重
	for i in n_train:
		w[i] /= np.sum(w[i])

# 最终的预测
predict = np.dot(theta, [model[m].predict(x_test) for m in range(M)])
```

参考文献：
https://towardsdatascience.com/boosting-algorithm-adaboost-b6737a9ee60c
https://towardsdatascience.com/boosting-and-adaboost-clearly-explained-856e21152d3e
https://github.com/jaimeps/adaboost-implementation/blob/master/adaboost.py

AdaBoost算法详解以及代码实现

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