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Unanimity and compromise among probability forecasters

小木 Management science 1990-07 2083 2017/02/06 09:57:33

这篇文章是之前那篇Management science中提到的用贝叶斯方法做观点融合的文章，文章有点老，引用也不高，先将就着看看吧。

作者首先提了一个管理的问题，比如一个决策者收到了两份预测结果，当两份预测结果一致的时候，决策者是否应该把这个预测概率当作他对某件事情判断的后验概率？当两份预测不一致的时候，他又该如何操作？作者认为对于同一个话题，将两个不同的概率联合起来是一个非常值得研究的问题（是啊，等了这么多年终于在最近几年的预测市场和众智的出现下，这个问题火了）。

#### 联合概率模型
在贝叶斯模型中，条件独立假设是非常普遍的假设。但是，使用条件独立的假设也有很多方法。首先，第一种情况是假设在给定事件下，不同个体的预测是相互独立的。第二种是在一个未知参数条件下，预测者的数据集是独立于该参数的一个参数模型。第三种是假设预测者的数据集以及据此的预测结果**不是相互独立**的。作者假设，某个事件A，只有发生1，和不发生0两种情况。有k个预测来源，其中，第i个来源的预测A发生的概率为$p_i$。在某种条件下，第i个预测来源的预测概率可以被当作是随机变量。决策者的先验概率是$p_0$，因此，其后验概率为$p^\*=P(A|p_0,p_1,...,p_k)$。

##### 给定事件A下的条件独立
贝叶斯理论的对数比形式为：
```math
\frac{p^*}{(1-p^*)}=\frac{p_0}{1-p_0}\prod_{i=1}^{k}\frac{P(p_i|A,p_0,p_1,...,p_{i-1})}{P(p_i|\bar{A},p_0,p_1,...,p_{i-1})}
```
假设预测来源相互独立，那么有
```math
\frac{P(p_i|A,p_0,p_1,...,p_{i-1})}{P(p_i|\bar{A},p_0,p_1,...,p_{i-1})} = \frac{P(p_i|A)}{P(p_i|\bar{A})}
```
所以第一个公式变成了：
```math
\frac{p^*}{(1-p^*)}=\frac{p_0}{1-p_0}\prod_{i=1}^{k}\frac{P(p_i|A)}{P(p_i|\bar{A})}
```

上式就可以当作是决策者的决策概率。比如说有两个来源，分别预测事件发生的概率为0.55,0.55，决策的事件发生的先验是0.5，那么决策者最后的预测概率就是0.6了。Genest和Schervish两人使用了一个类似的聚合公式来提供决策者的决策概率：
```math
p^*=\frac{p_0^{1-k}\prod_{i=1}^{k}\pi_i}{p_0^{1-k}\prod_{i=1}^k\pi_i+(1-p_0)^{(1-k)}\prod_{i=1}^{k}(1-\pi_i)}
```
在这里，$\pi_i=p_0+\lambda_i(p_i-u_i)$，其中$u_i$是决策者对pi的边际期望。$\lambda_i$是决策者对线性回归系数的主观评价。

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