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案例来源

本博客讲解的案例来源于Journal of the American Statistical Association期刊(顶刊)上的内容：

Blei D M, Kucukelbir A, McAuliffe J D. Variational inference: A review for statisticians[J]. Journal of the American Statistical Association, 2017, 112(518): 859-877.

高斯混合模型(Mixture of Gaussians model,GMM)

在之前的一篇博客中，已经介绍了变分推断的基本原理，下面将以高斯混合模型为例，推导变分推断的公式，并给出了CAVI算法流程。同时将使用python3实现这个小案例。下图为为高斯混合模型的生成过程：

其中，$x_{i}$便是一个样本数据，共有$n$个样本，并且这$n$个样本是从$K$个独立的高斯分布中抽的，$\mu {k}$为每个高斯分布的均值，$c{i}$表示$x_{i}$样本对应的哪个高斯分布，其服从一个多项式分布。从上图中的生成过程可以发现，这里需要估计的隐变量是$\mu$和$c$。基于贝叶斯定理，可以计算得到参数和样本的联合概率分布：

) 这个公式很容易理解，不过过多介绍。

变分推断

假设变分参数为：$m=(m_1,\ldots,m_K),s^2=(s_1^2,\ldots,s_K^2),\varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$，其中第一个和第二个是均值$\mu {k}$对应的两个变量，第三个参数为类别$c{i}$对应的变量。这三个参数决定了变分分布$q$.

下界ELBO计算

在变分推断中，重要的是计算下界ELBO：

在作者的原始论文中，只给了这个公式，但在写程序的时候，还需要将这个公式对应的详细内容给表达出来，如下图所示：

在写程序的时候，需要用到这个公式。

类别参数$\varphi$更新

更新类别参数$\varphi$时，需要用到下面的公式：

其中第一项为:

第二项为：

基于此，可以计算对数似然的期望：

最终，我们可以使用下面公式更新类别参数：

在原文中，作者只给了这个公式，但在编写程序时，需要将期望给求出来，以下是我继续推导的：

均值对应的参数的更新

下面便是$m_k$以及$m_k,s_k^2$的更新。

取对数为：

基于指数家族的性质，可以得到变分参数的更新公式，如下所示：

完整的算法流程

下图为完整的算法流程：

程序

基于上面的计算公式以及算法流程，下面来写算法程序。以下将以python3进行实现。

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.mlab as mlab
class gmm():
    def __init__(self, data, num_clusters, sigma=1):
        '''initialization
            model parameters(m,s2,phi)--need update
        '''
        self.data = data
        self.K = num_clusters
        self.n = data.shape[0]
        self.sigma = sigma
        self.phi = np.random.random([self.n,self.K])  # phi(matrix n*k)
        self.m = np.random.randint(np.min(data), np.max(data), self.K).astype(float)  # m(matrix 1*k)
        self.s2 = np.random.random(self.K) # s2(matrix 1*k)
    def compute_elbo(self):
        '''calculate ELOB '''
        p1 = -np.sum((self.m**2 + self.s2) / (2 * self.sigma**2))
        p2 = (-0.5 * np.add.outer(self.data**2, self.m**2 + self.s2) + np.outer(self.data, self.m))*(self.phi)
        p3 = -np.sum(np.log(self.phi))
        p4 = np.sum(0.5 * np.sum(np.log(self.s2)))
        elbo_c = p1 + np.sum(p2) + p3 + p4
        return elbo_c

    def update_bycavi(self):
        '''update (m,s2,phi)'''
        # phi update
        e = np.outer(self.data, self.m) + (-0.5 * (self.m**2 + self.s2))[np.newaxis, :] #[np.newaxis, :] is to matrix
        self.phi = np.exp(e) / np.sum(np.exp(e), axis=1)[:, np.newaxis] #normalization  K*N matrix
        #m update
        self.m = np.sum(self.data[:, np.newaxis] * self.phi, axis=0)/(1.0 / self.sigma**2 + np.sum(self.phi, axis=0))
        # s2 update
        self.s2 = 1.0 / (1.0 / self.sigma**2 + np.sum(self.phi, axis = 0))

    def trainmodel(self, epsilon, iters):
        '''train model
             epsilon: epsilon-convergence
             iters: iteration number
        '''
        elbo = []
        elbo.append(self.compute_elbo())
        # use cavi to update elbo until epsilon-convergence
        for i in range(iters):
            self.update_bycavi()
            elbo.append(self.compute_elbo())
            print("elbo is: ", elbo[i])
            if np.abs(elbo[-1] - elbo[-2]) <= epsilon:
                print("iter of convergence:",i)
                break
        return elbo
    def plot(self,size):
        sns.set_style("whitegrid")
        for i in range(int(self.n/size)):
            sns.distplot(data[size*i : (i+1)*size], rug=True)
            x = np.linspace(self.m[i] - 3*self.sigma, self.m[i] + 3*self.sigma, 100)
            plt.plot(x,mlab.normpdf(x, self.m[i], self.sigma),color='black')
        plt.show()
if __name__ == "__main__":
   # generate data
    number = 1000
    clusters = 5
    mu = np.array([1, 5, 7, 9, 15])
    data = []
    # x-N(Mu,1)
    for i in range(clusters):
        data.append(np.random.normal(mu[i], 1, number))
    # concatenate data
    data = np.concatenate(np.array(data))
    model = gmm(data, clusters)
    model.trainmodel(1e-3, 1000)
    print("converged_means:", sorted(model.m))
    model.plot(number)

执行该程序，控制台输出的结果为：

另外，matplotlib.pyplot绘图的结果为：

参考论文