矩母函数简介(Moment-generating function)
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在统计学中,矩母函数是一个关于随机变量的实值函数,它可以替代密度函数来描述分布。也就是说,出了概率密度函数外,我们也可以通过矩母函数来描述分布。对于某些概率密度函数和累计密度函数比较复杂的情况,我们使用矩母函数分析分布会大大降低复杂性,尤其是对于随机变量的加权求和来说,矩母函数可以提供非常简单的计算。当然,矩母函数出了是基于实值函数,也可以是基于向量和矩阵的,扩展性很好。但是,并不是所有的分布都存在矩母函数。
定义
在概率统计学中,某个随机变量$X$的矩母函数定义如下:
M_X(t) = E[e^{tX}], \space\space\space t\in R
当且仅当这个期望是存在的时候。换句话说,矩母函数可以认为是随机变量$e^{tX}$的期望。 $M_X(0)$永远存在,且必须等于1。定义这个函数的原因也是,通过这个函数,我们可以求出分布的所有高阶矩的结果,因为我们可以使用拉普拉斯变换。
e^{tX}=1+tX+\frac{t^2X^2}{2!} + \frac{t^3X^3}{3!} + \cdots +\frac{t^nX^n}{n!}
因此有:

