深度学习的反向传播手动推导

反向传播算法是深度学习求解最重要的方法。这里我们手动推导一下。

一般来说，我们讲神经网络的层数，是包含输出层，但是不包含输入层的。因此，神经网络第一层的输入是数据，最后一层的输出就是预测结果了。在这里我们主要讲反向传播的推导，因此为了简便，忽略了维度的表示。以下符号并没有考虑维度。

[TOC]

#### 一、符号说明
假设我们的输入数据是$X$，真实的标签是$y$。

首先假设神经网络有$L$层，最后一层是输出层，只有一个神经元。每层的变量和函数都使用<font color=red>上标</font>表示其所在的层。每一层的激活函数的输出为$A$，激活函数的输入是$Z$，它是由权重矩阵$W$和偏移$b$一起，作用于输入得到的。当这个层是第一层的时候，输入是数据$X$，当这个层不是第一层的时候，其输入是前一层的激活函数的输出。假设输出层的输出是$\hat{y}$，即预测结果。

#### 二、前向传播表示
那么，假设我们考虑第$l$个隐层，其输入是$A^{[l-1]}$，那么，其前向传播（forward propagation）的表示为：

```math
Z^{[l]} = W^{[l]} A^{[l-1]} + b^{[l]}
```

```math
A^{[l]} = g^{[l]}(Z^{[l]})
```

当$l=1$的时候，$A^{[0]}=X$。当$l=L$的时候，$A^{[L]}=\hat{y}$。

#### 三、反向传播推导
反向传播是从输出层开始，逐层计算梯度，并更新权重。我们首先定义损失函数，假设这里的标签是连续值，我们采用“平方损失函数（Square Loss）”：

```math
J = \frac{1}{2}(\hat{y} - y )^2 = \frac{1}{2}(A^{[L]} - y )^2
```

我们先说明一下输出层的前向传播结果。输出层为$L$层，其输入是$A^{[L-1]}$，权重和偏移分别为$W^{[L]}$和$b^{[L]}$，激活函数为$g^{[L-1]}(\cdot)$，那么其前向传播的表示为：

```math
Z^{[L]} = W^{[L]} A^{[L-1]} + b^{[L]}
```

```math
A^{[L]} = \hat{y} = g^{[L]}(Z^{[L]})
```

反向传播的第一步，初始化计算最后一层的$dA^{[L]} = \partial J / \partial A^{[L]}$：

```math
\begin{aligned}
dA^{[L]} &= \frac{\partial J }{ \partial A^{[L]}}\\
&\\
&= (\hat{y} - y )\hat{y}'\\
&\\
&= (\hat{y} - y )

\end{aligned}
```

接下来，就是给定$dA^{[L]}$，计算$dZ^{[L]}$，也就是损失函数对$Z^{[L]}$的偏导：

```math
\begin{aligned}

dZ^{[L]} &= \frac{\partial J}{\partial Z^{[L]}}\\ 
&\\
&= (\hat{y} - y) \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial Z^{[L]}}  \\
&\\
&=(\hat{y} - y) \cdot g^{[L]'}(Z^{[L]}) \\
&\\
&= dA^{[L]} \cdot g^{[L]'}(Z^{[L]})

\end{aligned}
```

接下来就是求$dW^{[L]}$:

```math
\begin{aligned}

dW^{[L]} &= \frac{\partial J}{\partial W^{[L]}}\\ 
&\\
&= (\hat{y} - y) \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial W^{[L]}}  \\
&\\
&=(\hat{y} - y) \cdot g^{[L]'}(Z^{[L]}) \cdot  \frac{\partial Z^{[L]}}{\partial W^{[L]}}  \\
&\\
&=dZ^{[L]} \cdot A^{[L-1]}

\end{aligned}
```

继续求$db^{[L]}$:
```math
\begin{aligned}

db^{[L]} &= \frac{\partial J}{\partial b^{[L]}}\\ 
&\\
&= (\hat{y} - y) \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial b^{[L]}}  \\
&\\
&=(\hat{y} - y) \cdot g^{[L]'}(Z^{[L]}) \cdot  \frac{\partial Z^{[L]}}{\partial b^{[L]}}  \\
&\\
&=dZ^{[L]}

\end{aligned}
```

最后求$dA^{[L-1]}$：
```math
\begin{aligned}

dA^{[L-1]} &= \frac{\partial J}{\partial A^{[L-1]}}\\ 
&\\
&= (\hat{y} - y) \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial A^{[L-1]}}  \\
&\\
&=(\hat{y} - y) \cdot g^{[L]'}(Z^{[L]}) \cdot  \frac{\partial Z^{[L]}}{\partial A^{[L-1]}}  \\
&\\
&=dZ^{[L]} \cdot W^{[L]}

\end{aligned}
```

然后就要更新参数了：
```math
W^{[L]} = W^{[L]} - \alpha dW^{[L]}
```
```math
b^{[L]} = b^{[L]} - \alpha db^{[L]}
```

至此，就是根据$dA^{[L-1]}$，继续计算剩下的$dA^{[L-2]}$、$dW^{[L-1]}$和$db^{[L-1]}$，然后更新参数。直到第一层为止。

注意：这里都是矩阵计算的方式，一个批次的数据一起计算求和之后需要除以批次中数据的数据量。

#### 四、总结
根据上述计算，我们知道，在计算反向传播的时候，第一步需要我们计算前向传播的结果并保存。以第$l$层为例，我们保存前向传播中的$A^{[l]}$、$Z^{[l]}$、$W^{[l]}$和$b^{[l]}$。

在反向传播中，我们先初始化计算最后一层的$dA^{[L]}$。剩下的就是循环计算：

给定$dA^{[L]}$，求$dA^{[L-1]}$、$dW^{[L]}$和$db^{[L]}$，计算过程中，我们会用到前面保存的前向传播结果，计算方法如下：

```math
dZ^{[l]} =  dA^{[l]} \cdot g^{[l]'}(Z^{[l]})
```
```math
dW^{[l]} =  dZ^{[L]} \cdot A^{[L-1]}
```
```math
db^{[l]} =  dZ^{[L]}
```
```math
dA^{[l-1]} =  dZ^{[L]} \cdot W^{[L]}
```

至此，反向传播计算完成。

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