softmax作为输出层激活函数的反向传播推导

softmax作为多标签分类中最常用的激活函数，常常作为最后一层存在，并经常和交叉熵损失函数一起搭配使用。这里描述如何推导交叉熵损失函数的导数问题。

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#### 一、一个简单的最后一层的例子

我们先看一个最后一层的例子，假设我们的标签有3类，那么最后一层一般定义成3个神经元，并先通过计算softmax得到最后一层激活函数的输出，然后将3个类别中概率最大的一类作为输出的预测结果。如下图所示：

<center>![](http://www.datalearner.com/resources/blog_images/c8734841-c2a0-41c1-b15f-68f1b0f8e433.jpg)</center>
<center></center>

假设$z\_1$、$z\_2$和$z\_3$是最后一层的非激活函数结果，它的值是通过前一层的输出来做线性变化得到，即$\sum wa^{l-1} +b$得到，这里的$a^{l-1}$是指前一层的激活函数的输出结果。那么这一层激活函数选择softmax之后得到的结果是：

```math
a_j = \frac{e^{z_j}}{e^{z_1}+e^{z_2}+e^{z_3}}
```

假设预测的结果是$\hat{y}$，一般我们选择softmax最大的结果作为预测结果。这里提醒一下，我们一般输出的结果也是一个向量，也就是真实的标签中是一个one-hot编码，其中真实标签所在的维度为1，其他位置的结果为0。我们预测的也是这样一个向量，期望它和真实标签越接近越好。

#### 二、交叉熵损失函数

在这里使用softmax作为激活函数的层通常都是最后一层，使用交叉熵作为损失函数（这里我们用$n\_y$表示输出标签的数量，所以输出也就是一个$n\_y$维度的向量）：
```math
J = - \sum_{j=1}^{n_y} y_{j} \log \hat{y}_{j}
```
#### 三、交叉熵损失函数的偏导计算
接下来我们就要使用这个损失函数来进行反向传播的推导。那么，对于最后一层，我们的目标是求如下的偏导：

```math
\frac{\partial J}{\partial z_i}
```

前面提到过，输出的是一个$n\_y$维的向量，除了真实标签的位置是1，其它都是0。而我们预测的结果也是一个向量，由$\hat{y}=[a_1, a_2, a_3]$组成（<font color=red>注意，实际预测我们会取概率最大的作为预测结果，但实际我们计算的目标还是这个向量</font>）。假设真实标签所在的维度就是$j$，那么求和的其他维度的结果都是0。

因此，损失函数可以简化掉求和结果变成：

```math
J = - y_{j} \log a_{j}
```

那么：

```math
\frac{\partial J}{\partial z_i} = \frac{\partial J}{\partial a_j} \cdot \frac{\partial a_j}{\partial z_i}
```

##### 3.1、第一项的偏导
对于第1项的求偏导很简单：

```math
\frac{\partial J}{\partial a_j} = - \frac{y_j}{a_j}
```

##### 3.2、第二项的偏导
对于第二项，如前所述，它的公式为：

```math
a_j = \frac{e^{z_i}}{\sum e^{z}}
```

对这个式子的求导其实是针对$z_1$、$z_2$和$z_3$求导，我们用$z\_i$表示，要分成两种情况：当真实标签$j=i$的时候，分子$z\_i=z\_j$是未知数：

```math
\begin{aligned}

\frac{\partial a_j}{\partial z_i} &= \frac{ (e^{z_i})'\sum e^{z} - e^{z_i}(\sum e^{z})' }{(\sum e^{z})^2} \\

& \\
&= \frac{(e^{z_i})'}{\sum e^{z}} - \frac{e^{z_i}}{\sum e^{z}} \cdot \frac{(e^{z})'}{\sum e^{z}}\\

& \\

&= \frac{e^{z_i}}{\sum e^{z}} - \frac{e^{z_i}}{\sum e^{z}} \cdot \frac{e^{z_j}}{\sum e^{z}}\\

& \\

&=a_i(1-a_j)

\end{aligned}
```

当$j\neq i$时候，分子$z\_i$是常数，因此：

```math
\begin{aligned}

\frac{\partial a_j}{\partial z_i} &= \frac{ (e^{z_i})'\sum e^{z} - e^{z_i}(\sum e^{z})' }{(\sum e^{z})^2} \\

& \\

&= \frac{ 0 \cdot \sum e^{z} - e^{z_i}\cdot e^{z_j}} {(\sum e^{z})^2} \\

&\\

&=- \frac{ e^{z_i}\cdot e^{z_j}} {(\sum e^{z})^2}\\

&\\

&=- \frac{e^{z_i}} {\sum e^{z}} \cdot \frac{e^{z_j}} {\sum e^{z}}\\
&\\

&=- a_i \cdot a_j

\end{aligned}
```

综上所述，对于$z\_i$求偏导时候：

当$i$不是真实标签时候，即$i\neq j$：
```math
\frac{\partial J}{\partial z_i} = - \frac{y_j}{a_j} \cdot (- a_i \cdot a_j) = a_i
```

当$i$是真实标签的时候，即$i=j$：
```math
\begin{aligned}
\frac{\partial J}{\partial z_i} &= - \frac{y_j}{a_j} \cdot (a_i- a_i \cdot a_j)  \\

&\\

&= - \frac{1}{a_j} \cdot (a_i- a_i \cdot a_j)  \\

&\\

& = a_i - 1

\end{aligned}
```

#### 四、更新参数
那么更新$z_i$也很简单，当$i\neq j$时候，更新只需要：
```math
z_i = z_i - a_i
```
当$i= j$时候：
```math
z_i = z_i -(a_i-1)
```

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